PHP实现排序堆排序（Heap Sort）算法

算法引进：

在这里我直接引用《大话数据结构》里面的开头：

在前面讲到 ，它在待排序的 n 个记录中选择一个最小的记录需要比较 n - 1 次，本来这也可以理解，查找第一个数据需要比较这么多次是正常的，否则如何知道他是最小的记录。

可惜的是，这样的操作并没有把每一趟的比较结果保存下来，在后一趟的比较重，有许多比较在前一趟已经做过了，但由于前一趟排序时未保存这些比较结果，所以后一趟排序时又重复执行了这些比较操作，因而记录的比较次数较多。

如果可以做到每次在选择到最小记录的同时，并根据比较结果对其他记录做出相应的调整，那样排序的总体效率就会非常高了。而堆排序，就是对简单选择排序进行的一种改进，这种改进的效果是非常明显的。

基本思想：

在介绍堆排序之前，我们先来介绍一下堆：

《大话数据结构》里的定义：堆 是具有下列性质的完全二叉树：每个节点的值都大于或等于其左右孩子节点的值，成为大顶堆（大根堆）；或者每个节点的值都小于或等于其左右节点的值，成为小顶堆（小根堆）。

当时我在看到这里的时候也对有“堆是否是完全二叉树”有过疑问，网上也有说不是完全二叉树的，但是无论堆是不是完全二叉树，尚且保留意见。我们只要知道，在这里我们采用完全二叉树形式的大根堆（小跟堆），主要是为了方便存储和计算（后面我们会看到带来的便利）。

堆排序算法：

堆排序就是利用堆（假设利用大根堆）进行排序的方法，它的基本思想是：将待排序的序列构造成一个大根堆。此时，整个序列的最大值就是堆顶的根节点。将它移走（其实就是将其与堆数组的末尾元素交换，此时末尾元素就是最大值），然后将剩余的 n - 1 个序列重新构造成一个堆，这样就会得到 n 个元素中的次小的值。如此反复执行，便能得到一个有序序列了。

大根堆排序算法的基本操作：

①建堆，建堆是不断调整堆的过程，从 len/2 处开始调整，一直到第一个节点，此处 len 是堆中元素的个数。建堆的过程是线性的过程，从 len/2 到 0 处一直调用调整堆的过程，相当于 o(h1) + o(h2) …+ o(hlen/2) 其中 h 表示节点的深度， len/2 表示节点的个数，这是一个求和的过程，结果是线性的 O(n)。

②调整堆：调整堆在构建堆的过程中会用到，而且在堆排序过程中也会用到。利用的思想是比较节点i和它的孩子节点 left(i) , right(i)，选出三者最大(或者最小)者，如果最大（小）值不是节点i而是它的一个孩子节点，那边交互节点i和该节点，然后再调用调整堆过程，这是一个递归的过程。调整堆的过程时间复杂度与堆的深度有关系，是 lgn 的操作，因为是沿着深度方向进行调整的。

③堆排序：堆排序是利用上面的两个过程来进行的。首先是根据元素构建堆。然后将堆的根节点取出(一般是与最后一个节点进行交换)，将前面 len-1 个节点继续进行堆调整的过程，然后再将根节点取出，这样一直到所有节点都取出。堆排序过程的时间复杂度是 O(nlgn)。因为建堆的时间复杂度是 O(n)（调用一次）；调整堆的时间复杂度是 lgn，调用了 n-1 次，所以堆排序的时间复杂度是 O(nlgn)。

在这个过程中是需要大量的图示才能看的明白的，但是我懒。。。。。。

算法实现：

<?php

//堆排序（对简单选择排序的改进）

function swap(array &$arr,$a,$b){
 $temp = $arr[$a];
 $arr[$a] = $arr[$b];
 $arr[$b] = $temp;
}

//调整 $arr[$start]的关键字，使$arr[$start]、$arr[$start+1]、、、$arr[$end]成为一个大根堆（根节点最大的完全二叉树）
//注意这里节点 s 的左右孩子是 2*s + 1 和 2*s+2 （数组开始下标为 0 时）
function HeapAdjust(array &$arr,$start,$end){
 $temp = $arr[$start];
 //沿关键字较大的孩子节点向下筛选
 //左右孩子计算（我这里数组开始下标识 0）
 //左孩子2 * $start + 1，右孩子2 * $start + 2
 for($j = 2 * $start + 1;$j <= $end;$j = 2 * $j + 1){
  if($j != $end && $arr[$j] < $arr[$j + 1]){
   $j ++; //转化为右孩子
  }
  if($temp >= $arr[$j]){
   break; //已经满足大根堆
  }
  //将根节点设置为子节点的较大值
  $arr[$start] = $arr[$j];
  //继续往下
  $start = $j;
 }
 $arr[$start] = $temp;
}

function HeapSort(array &$arr){
 $count = count($arr);
 //先将数组构造成大根堆（由于是完全二叉树，所以这里用floor($count/2)-1，下标小于或等于这数的节点都是有孩子的节点)
 for($i = floor($count / 2) - 1;$i >= 0;$i --){
  HeapAdjust($arr,$i,$count);
 }
 for($i = $count - 1;$i >= 0;$i --){
  //将堆顶元素与最后一个元素交换，获取到最大元素（交换后的最后一个元素），将最大元素放到数组末尾
  swap($arr,0,$i); 
  //经过交换，将最后一个元素（最大元素）脱离大根堆，并将未经排序的新树($arr[0...$i-1])重新调整为大根堆
  HeapAdjust($arr,0,$i - 1);
 }
}

$arr = array(9,1,5,8,3,7,4,6,2);
HeapSort($arr);
var_dump($arr);

时间复杂度分析：

它的运行时间只要是消耗在初始构建对和在重建堆屎的反复筛选上。

总体上来说，堆排序的时间复杂度是 O(nlogn)。由于堆排序对原始记录的排序状态并不敏感，因此它无论是最好、最差和平均时间复杂度都是 O(nlogn)。这在性能上显然要远远好于冒泡、简单选择、直接插入的 O(n^2) 的时间复杂度了。

堆排序是一种不稳定排序方法。

本篇博客参考自《大话数据结构》，在此仅作记录，方便以后查阅，大神勿喷！