算法系列15天速成 第十四天 图【上】
今天来分享一下图，这是一种比较复杂的非线性数据结构，之所以复杂是因为他们的数据元素之间的关系是任意的，而不像树那样 被几个性质定理框住了，元素之间的关系还是比较明显的，图的使用范围很广的，比如网络爬虫，求最短路径等等，不过大家也不要胆怯，
越是复杂的东西越能体现我们码农的核心竞争力。
既然要学习图，得要遵守一下图的游戏规则。
一： 概念
图是由“顶点”的集合和“边”的集合组成。记作：G=（V,E)；
<1> 无向图
就是“图”中的边没有方向，那么（V1,V2)这条边自然跟（V2，V1）是等价的，无向图的表示一般用”圆括号“。
<2> 有向图
“图“中的边有方向，自然<V1,V2>这条边跟<V2,V1>不是等价的，有向图的表示一般用"尖括号"表示。
<3> 邻接点
一条边上的两个顶点叫做邻接点，比如（V1，V2），（V1，V3），（V1，V5），只是在有向图中有一个“入边，出边“的
概念，比如V3的入边为V5，V3的出边为V2，V1，V4。
<4> 顶点的度
这个跟“树”中的度的意思一样。不过有向图中也分为“入度”和“出度”两种，这个相信大家懂的。
<5> 完全图
每两个顶点都存在一条边，这是一种完美的表现，自然可以求出边的数量。
无向图：edges=n(n-1)/2;
有向图：edges=n(n-1); //因为有向图是有边的，所以必须在原来的基础上"X2"。
<6> 子图
如果G1的所有顶点和边都在G2中，则G1是G2的子图，具体不说了。
<7> 路径，路径长度和回路（这些概念还是比较重要的）
路径： 如果Vm到Vn之间存在一个顶点序列。则表示Vm到Vn是一条路径。
路径长度： 一条路径中“边的数量”。
简单路径： 若一条路径上顶点不重复出现，则是简单路径。
回路： 若路径的第一个顶点和最后一个顶点相同，则是回路。
简单回路： 第一个顶点和最后一个顶点相同，其它各顶点都不重复的回路则是简单回路。
<8> 连通图和连通分量（针对无向图而言的）
连通图： 无向图中，任意两个顶点都是连通的则是连通图，比如V1，V2，V4之间。
连通分量： 无向图的极大连通子图就是连通分量，一般”连通分量“就是”图“本身，除非是“非连通图”，
如下图就是两个连通分量。
<9> 强连通图和强连通分量（针对有向图而言）
这里主要注意的是“方向性“，V4可以到V3，但是V3无法到V4，所以不能称为强连通图。
<10> 网
边上带有”权值“的图被称为网。很有意思啊，呵呵。
二：存储
图的存储常用的是”邻接矩阵”和“邻接表”。
邻接矩阵： 手法是采用两个数组，一个一维数组用来保存顶点信息，一个二维数组来用保存边的信息，
缺点就是比较耗费空间。
邻接表： 改进后的“邻接矩阵”，缺点是不方便判断两个顶点之间是否有边，但是相比节省空间。
三： 创建图
这里我们就用邻接矩阵来保存图，一般的操作也就是：①创建，②遍历
#region 邻接矩阵的结构图
/// <summary>
/// 邻接矩阵的结构图
/// </summary>
public class MatrixGraph
{
//保存顶点信息
public string[] vertex;
//保存边信息
public int[,] edges;
//深搜和广搜的遍历标志
public bool[] isTrav;
//顶点数量
public int vertexNum;
//边数量
public int edgeNum;
//图类型
public int graphType;
/// <summary>
/// 存储容量的初始化
/// </summary>
/// <param name="vertexNum"></param>
/// <param name="edgeNum"></param>
/// <param name="graphType"></param>
public MatrixGraph(int vertexNum, int edgeNum, int graphType)
{
this.vertexNum = vertexNum;
this.edgeNum = edgeNum;
this.graphType = graphType;
vertex = new string[vertexNum];
edges = new int[vertexNum, vertexNum];
isTrav = new bool[vertexNum];
}
}
#endregion
<1> 创建图很简单，让用户输入一些“边，点，权值"来构建一下图
#region 图的创建
/// <summary>
/// 图的创建
/// </summary>
/// <param name="g"></param>
public MatrixGraph CreateMatrixGraph()
{
Console.WriteLine("请输入创建图的顶点个数，边个数，是否为无向图(0,1来表示)，已逗号隔开。");
var initData = Console.ReadLine().Split(',').Select(i => int.Parse(i)).ToList();
MatrixGraph graph = new MatrixGraph(initData[0], initData[1], initData[2]);
Console.WriteLine("请输入各顶点信息：");
for (int i = 0; i < graph.vertexNum; i++)
{
Console.Write("\n第" + (i + 1) + "个顶点为:");
var single = Console.ReadLine();
//顶点信息加入集合中
graph.vertex[i] = single;
}
Console.WriteLine("\n请输入构成两个顶点的边和权值，以逗号隔开。\n");
for (int i = 0; i < graph.edgeNum; i++)
{
Console.Write("第" + (i + 1) + "条边:\t");
initData = Console.ReadLine().Split(',').Select(j => int.Parse(j)).ToList();
int start = initData[0];
int end = initData[1];
int weight = initData[2];
//给矩阵指定坐标位置赋值
graph.edges[start - 1, end - 1] = weight;
//如果是无向图，则数据呈“二，四”象限对称
if (graph.graphType == 1)
{
graph.edges[end - 1, start - 1] = weight;
}
}
return graph;
}
#endregion
<2>广度优先
针对狼蚁网站SEO优化的“图型结构”，我们如何广度优先呢？其实我们只要深刻理解"广搜“给我们定义的条条框框就行了。 为了避免同一个顶点在遍历时被多
次访问，可以将”顶点的下标”存放在sTrav[]的bool数组，用来标识是否已经访问过该节点。
第一步：首先我们从isTrav数组中选出一个未被访问的节点，如V1。
第二步：访问V1的邻接点V2，V3，V5，并将这三个节点标记为true。
第三步：第二步结束后，我们开始访问V2的邻接点V1，V3，但是他们都是被访问过的。
第四步：我们从第二步结束的V3出发访问他的邻接点V2，V1，V5，V4，还好V4是未被访问的，此时标记一下。
第五步：我们访问V5的邻接点V1，V3，V4，不过都是已经访问过的。
第六步：有的图中通过一个顶点的“广度优先”不能遍历所有的顶点，此时我们重复（1-5）的步骤就可以最终完成广度优先遍历。
#region 广度优先
/// <summary>
/// 广度优先
/// </summary>
/// <param name="graph"></param>
public void BFSTraverse(MatrixGraph graph)
{
//访问标记默认初始化
for (int i = 0; i < graph.vertexNum; i++)
{
graph.isTrav[i] = false;
}
//遍历每个顶点
for (int i = 0; i < graph.vertexNum; i++)
{
//广度遍历未访问过的顶点
if (!graph.isTrav[i])
{
BFSM(ref graph, i);
}
}
}
/// <summary>
/// 广度遍历具体算法
/// </summary>
/// <param name="graph"></param>
public void BFSM(ref MatrixGraph graph, int vertex)
{
//这里就用系统的队列
Queue<int> queue = new Queue<int>();
//先把顶点入队
queue.Enqueue(vertex);
//标记此顶点已经被访问
graph.isTrav[vertex] = true;
//输出顶点
Console.Write(" ->" + graph.vertex[vertex]);
//广度遍历顶点的邻接点
while (queue.Count != 0)
{
var temp = queue.Dequeue();
//遍历矩阵的横坐标
for (int i = 0; i < graph.vertexNum; i++)
{
if (!graph.isTrav[i] && graph.edges[temp, i] != 0)
{
graph.isTrav[i] = true;
queue.Enqueue(i);
//输出未被访问的顶点
Console.Write(" ->" + graph.vertex[i]);
}
}
}
}
#endregion
<3> 深度优先
同样是这个图，大家看看如何实现深度优先，深度优先就像铁骨铮铮的好汉，遵循“能进则进，不进则退”的原则。
第一步：同样也是从isTrav数组中选出一个未被访问的节点，如V1。
第二步：然后一直访问V1的邻接点，一直到走头无路的时候“回溯”，路线为V1,V2,V3,V4,V5，到V5的时候访问邻接点V1，发现V1是访问过的，
此时一直回溯的访问直到V1。
第三步： 同样有的图中通过一个顶点的“深度优先”不能遍历所有的顶点，此时我们重复（1-2）的步骤就可以最终完成深度优先遍历。
#region 深度优先
/// <summary>
/// 深度优先
/// </summary>
/// <param name="graph"></param>
public void DFSTraverse(MatrixGraph graph)
{
//访问标记默认初始化
for (int i = 0; i < graph.vertexNum; i++)
{
graph.isTrav[i] = false;
}
//遍历每个顶点
for (int i = 0; i < graph.vertexNum; i++)
{
//广度遍历未访问过的顶点
if (!graph.isTrav[i])
{
DFSM(ref graph, i);
}
}
}
#region 深度递归的具体算法
/// <summary>
/// 深度递归的具体算法
/// </summary>
/// <param name="graph"></param>
/// <param name="vertex"></param>
public void DFSM(ref MatrixGraph graph, int vertex)
{
Console.Write("->" + graph.vertex[vertex]);
//标记为已访问
graph.isTrav[vertex] = true;
//要遍历的六个点
for (int i = 0; i < graph.vertexNum; i++)
{
if (graph.isTrav[i] == false && graph.edges[vertex, i] != 0)
{
//深度递归
DFSM(ref graph, i);
}
}
}
#endregion
#endregion
最后上一下总的代码
using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Linq;
using System.Text;
namespace MatrixGraph
{
public class Program
{
static void Main(string[] args)
{
MatrixGraphManager manager = new MatrixGraphManager();
//创建图
MatrixGraph graph = manager.CreateMatrixGraph();
manager.OutMatrix(graph);
Console.Write("广度递归:\t");
manager.BFSTraverse(graph);
Console.Write("\n深度递归:\t");
manager.DFSTraverse(graph);
Console.ReadLine();
}
}
#region 邻接矩阵的结构图
/// <summary>
/// 邻接矩阵的结构图
/// </summary>
public class MatrixGraph
{
//保存顶点信息
public string[] vertex;
//保存边信息
public int[,] edges;
//深搜和广搜的遍历标志
public bool[] isTrav;
//顶点数量
public int vertexNum;
//边数量
public int edgeNum;
//图类型
public int graphType;
/// <summary>
/// 存储容量的初始化
/// </summary>
/// <param name="vertexNum"></param>
/// <param name="edgeNum"></param>
/// <param name="graphType"></param>
public MatrixGraph(int vertexNum, int edgeNum, int graphType)
{
this.vertexNum = vertexNum;
this.edgeNum = edgeNum;
this.graphType = graphType;
vertex = new string[vertexNum];
edges = new int[vertexNum, vertexNum];
isTrav = new bool[vertexNum];
}
}
#endregion
/// <summary>
/// 图的操作类
/// </summary>
public class MatrixGraphManager
{
#region 图的创建
/// <summary>
/// 图的创建
/// </summary>
/// <param name="g"></param>
public MatrixGraph CreateMatrixGraph()
{
Console.WriteLine("请输入创建图的顶点个数，边个数，是否为无向图(0,1来表示)，已逗号隔开。");
var initData = Console.ReadLine().Split(',').Select(i => int.Parse(i)).ToList();
MatrixGraph graph = new MatrixGraph(initData[0], initData[1], initData[2]);
Console.WriteLine("请输入各顶点信息：");
for (int i = 0; i < graph.vertexNum; i++)
{
Console.Write("\n第" + (i + 1) + "个顶点为:");
var single = Console.ReadLine();
//顶点信息加入集合中
graph.vertex[i] = single;
}
Console.WriteLine("\n请输入构成两个顶点的边和权值，以逗号隔开。\n");
for (int i = 0; i < graph.edgeNum; i++)
{
Console.Write("第" + (i + 1) + "条边:\t");
initData = Console.ReadLine().Split(',').Select(j => int.Parse(j)).ToList();
int start = initData[0];
int end = initData[1];
int weight = initData[2];
//给矩阵指定坐标位置赋值
graph.edges[start - 1, end - 1] = weight;
//如果是无向图，则数据呈“二，四”象限对称
if (graph.graphType == 1)
{
graph.edges[end - 1, start - 1] = weight;
}
}
return graph;
}
#endregion
#region 输出矩阵数据
/// <summary>
/// 输出矩阵数据
/// </summary>
/// <param name="graph"></param>
public void OutMatrix(MatrixGraph graph)
{
for (int i = 0; i < graph.vertexNum; i++)
{
for (int j = 0; j < graph.vertexNum; j++)
{
Console.Write(graph.edges[i, j] + "\t");
}
//换行
Console.WriteLine();
}
}
#endregion
#region 广度优先
/// <summary>
/// 广度优先
/// </summary>
/// <param name="graph"></param>
public void BFSTraverse(MatrixGraph graph)
{
//访问标记默认初始化
for (int i = 0; i < graph.vertexNum; i++)
{
graph.isTrav[i] = false;
}
//遍历每个顶点
for (int i = 0; i < graph.vertexNum; i++)
{
//广度遍历未访问过的顶点
if (!graph.isTrav[i])
{
BFSM(ref graph, i);
}
}
}
/// <summary>
/// 广度遍历具体算法
/// </summary>
/// <param name="graph"></param>
public void BFSM(ref MatrixGraph graph, int vertex)
{
//这里就用系统的队列
Queue<int> queue = new Queue<int>();
//先把顶点入队
queue.Enqueue(vertex);
//标记此顶点已经被访问
graph.isTrav[vertex] = true;
//输出顶点
Console.Write(" ->" + graph.vertex[vertex]);
//广度遍历顶点的邻接点
while (queue.Count != 0)
{
var temp = queue.Dequeue();
//遍历矩阵的横坐标
for (int i = 0; i < graph.vertexNum; i++)
{
if (!graph.isTrav[i] && graph.edges[temp, i] != 0)
{
graph.isTrav[i] = true;
queue.Enqueue(i);
//输出未被访问的顶点
Console.Write(" ->" + graph.vertex[i]);
}
}
}
}
#endregion
#region 深度优先
/// <summary>
/// 深度优先
/// </summary>
/// <param name="graph"></param>
public void DFSTraverse(MatrixGraph graph)
{
//访问标记默认初始化
for (int i = 0; i < graph.vertexNum; i++)
{
graph.isTrav[i] = false;
}
//遍历每个顶点
for (int i = 0; i < graph.vertexNum; i++)
{
//广度遍历未访问过的顶点
if (!graph.isTrav[i])
{
DFSM(ref graph, i);
}
}
}
#region 深度递归的具体算法
/// <summary>
/// 深度递归的具体算法
/// </summary>
/// <param name="graph"></param>
/// <param name="vertex"></param>
public void DFSM(ref MatrixGraph graph, int vertex)
{
Console.Write("->" + graph.vertex[vertex]);
//标记为已访问
graph.isTrav[vertex] = true;
//要遍历的六个点
for (int i = 0; i < graph.vertexNum; i++)
{
if (graph.isTrav[i] == false && graph.edges[vertex, i] != 0)
{
//深度递归
DFSM(ref graph, i);
}
}
}
#endregion
#endregion
}
}
代码中我们构建了如下的“图”。